法國數學家。1873年10月以第一名考入巴黎綜合工科學校。1879年以數學論文獲博士學位。旋即去卡昂大學理學院任講師。1881年為巴黎大學教授，直到去世。龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在分析學方面。他 早期的主要工作是創立自守函數理論(1878)。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名 的級數構造了自守函數，並發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。

    1883年，提出了一般的單值化定理。同年，他進而研 究一般解析函數論，研究了整函數的風格及其與泰勒展開式的系數或函數絕對值的增長率之間的關係。龐加萊為了研究行星軌道和 衛星軌道的穩定性問題，在1881~1886年發表的四篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程 的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點(焦點、鞍點、結點、中心)附近的性態。他提出根據解對極限環的關係可以判定解的穩性。

    1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立「n體問題」獎，更加引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個質量比另一 個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎。還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他進行了大量天學力體研究。引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。他開創了動力系統理論，1895年證明了「龐加萊 回歸定理」。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀 體外，還有三種龐加萊梨形體存在。龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性(1890)， 這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯算子的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函數存在性的嚴格證明(1894)。他 在積分方程中引進複參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。龐加萊對現代數學另一重要的影響是創立組合拓撲學。他引進貝 蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關連系數矩陣等工具， 借助它們推廣歐拉多面體定理，成為歐拉-龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。他還提出龐加萊猜想。在「龐加萊的最後定理 」中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，他的<<有理數域上的代數幾何學>>(1901)開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾 何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數(GroupAlgebra)並證明其分解定理。

    第一次引進代數中左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理(The third foundamental theorem of LieAlgebra)及坎貝爾-豪斯多夫公式(1899)。還引進李代數的包絡代數(BorelAlgebra)，並對其基加以描述，證明了龐加萊-伯克霍夫-維特定理。龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有 貢獻。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群。