• 數列
  • 問題 1
  • 問題 2
  • 問題 3

微積分 II

 14 課: 數列簡介

數列

數列是一個無窮的表單,是一個無窮個物件且依某些順序排列而成的集合。在這課程中，我們將會專門討論數字的數列。例如

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

1, -1/3, 1/9, -1/27, 1/81, -1/243, ...

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, ...

是三個由數字組成的數列。(注意 ... 符號，符號 ...代表這是無窮連續的表單)

我們代表性的以單一字母去表示數列;數列中個別項則以相同字母，在字母的下標位置表示出。例如，假如在下面最後的數列稱為a，則    , , 等等。一般項，或者第n項，則從公式 所獲得。

問題1

請問下面第二個數列中的一般項為何?

解:   (為什麼指數是 n+1 且不只是 n ?)

在Maple中有一個方法可以產生表單，就是使用金錢符號，$.

> n^2 $n=1..10;

> n/(n+1) $n=3..7;

注意在這裡使用 ‘list’比使用 ‘sequence’好 ; Maple在這只產生有限項數的數字，而不是整個數列。儘管如此，這已經足夠讓我們從一個函數n去繪出一般項a_n而得到的數列圖。使用正確的語法，Maple中的plot指令將會幫我們做到。在下面的例子中，我們首先定義一列的點去繪出( 點 ( n , a_n )),然後把這個表傳給plot。

> a := [[n, n^2] $n=1..10];

> plot(a, x=0..12, style=point);

這數列a在 時，給了一張好的圖。下一個的例子是 的第n項數列 。

> b := [[n, n/(n+1)] $n=1..10];

> plot(b, x=0..12, style=point);

注意到數列 a 與 數列 b 在 n 值極大時其表現出來十分的不同:數列 a 沒有界限的成長，而 b 看來好像接近一個有限的值。我們可以藉由繪出 更多的 b 值的圖去肯定這件事。

> plot([[n, n/(n+1)] $n=1..100], x=0..100, y=0..2, style=point);

現在對那似乎更清楚了，當n值變大時，項數 則愈接近1 。(這從代數學來看也應該很清楚:當n值非常大時，分母中的‘+1’將產生很小的差距，所以分數應該趨近於像當 時。)在像數列b 的例子中，在n值變的很大時，它的一般項會接近一個固定且有限的數字L，則我們稱這數列 收斂 到L, 或者說有一個L的極限，所以我們寫成

除此之外，我們則稱這數列為發散，或者極限不存在。例如，我們在下面看到的

>

問題 2

從下列已知數列的表示式，以圖表表示出這數列的一般項，且定義它們是否收斂。假如收斂，試著找出它們的極限。(在畫圖之前，你可以試著猜猜答案;它們並不全都是明顯的。)

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

解.

> plot([[n, (-1)^n] $n=1..20], x=0..20, style=point);

數列(a)不是收斂:項數在1和-1間前後跳躍，且不接近任何固定的值。

> plot([[n, (1 + 1/n)^n] $n=1..30], x=0..30, style=point);

數列(b)出現在收斂到趨近2.7的一個極限值。(事實上，這個數列收斂到數字 e

，也就是趨近值等於2.7182818285。)

> plot([[n, (1 + 2/n)^n] $n=1..30], x=0..30, style=point);

這數列出現在收斂值趨近於7的一個極限值。(事實上精確值為 )

> plot([[n, (1 - 1/n)^n] $n=1..30], x=0..30, style=point);

數列(d)也是收斂。(這時侯，精確的極限值為 ;你開始領會到某種模式了嗎?)

> plot([[n, sqrt(n+1) - sqrt(n)] $n=1..30], x=0..30, style=point);

數列(e)收斂到0。這是一個有趣的例題:數列中的一般項為兩個極大值的差距(假如n非常大時)，它們各別計算後的值不是 或 ，而是它們的差距;而且差距確實趨近於0。在下個例子中，將會展示出當差距趨近於0時並不總是可以明顯觀察出的。

> plot([[n, sqrt(n^2 + n) - n] $n=1..30], x=0..30, style=point);

在這個例子中，我們再一次有這兩個極大數的差距。一個合理的趨近將了解到這極限會被指定,假如n非常大，則 會比n大的多，所以我們在平方根下應該忽略n項。這會表示出一般項應該看起來像 (對n值很大時)。當你從圖看到，this

 argument is wrong! 事實上，這數列收斂到1/2。(這個論據的解譯在Stewart的12.11節中: 二項式級數。)

> plot([[n, sin(n)] $n=1..30], x=0..30, style=point);

事實上，這個數列嚴格來說是全部最難了解的，假如它沒有收斂必然可以從圖上看出。(事實上這就是答案。)似乎沒有從任何模式發展出來，然而，但是卻明顯的推算出是發散。我們能試著繪出數列中的少數項:

> plot([[n, sin(n)] $n=1..100], x=0..100, style=point);

有畫出很多點，但是仍然沒有什麼明顯的讓我們肯定它發散。事實上，這數列從沒有在任何"簡單"的表示方式中安頓下來，一直在兩個值間跳動:不論你畫了多少點，這圖片還是看起來像上面那個一樣。

> limit(n/(n+1), n=infinity);

>

問題 3

使用limit 指令去驗證你在問題2得到的結果。在每一個數列上使用它，甚至你認為它是發散的，如此一來你可以看到Maple如何說明這極限不存在。

> limit((-1)^n, n=infinity);

我們在問題2中看到這數列在1跟-1中前後跳躍，所以它沒有極限。 Maple給這”limit”一個範圍: 在1跟-1間。由於Maple 沒有給這極限單一數字，你可以從這極限的輸出推斷出，如同在課堂上所定義的，不存在。

> limit((1 + 1/n)^n, n=infinity);

它看來似乎 Maple 意識到數列跟數字 e 的關系 。還有什麼變化呢?

> limit((1 + 2/n)^n, n=infinity);

> limit((1 - 1/n)^n, n=infinity);

嗯…在一般模式下如何?(只是在例子中 x 在工作單上在別處被給定一個值，讓我們先看個例子)

> x := 'x';

> limit((1 + x/n)^n, n=infinity);

有趣地!顯然地，指數函數能被計算出一個數列中的極限值。

> limit(sqrt(n+1) - sqrt(n), n=infinity);

> limit(sqrt(n^2 + n) - n, n=infinity);

這兩個我們在問題2看到的極限是前後一致的。

> limit(sin(n), n=infinity);

當在第一個數列中，Maple 藉由給一個範圍說明了這數列不是收斂。

>

>

注意: 在這個工作單中，嚴格來說我們還沒有討論到極限的定義，至於這將定義在Stewart的580頁中。你將會預料知道這個定義，而且能使用它去表示出簡單極限的存在。