• 圓錐剖面的幾何定義
• 圓錐剖面的分析圖
• 圓錐等式標準形式

微積分 II

第 24 課: 圓錐剖面

圓錐剖面的幾何定義。

我們以圓錐剖面的幾何定義開始。 之後, 我們將使用圓錐剖面的分析圖繪製在平面上。

> restart: with(student):with(plottools): with(plots):

注意，名字的變化已經重新定義過了

圓

> up := cone([.3,0,-1],1,2,color=blue):
down := cone([.3,0,-1],1,-2,color=blue):
circlePlane := plot3d(0, x=-3..1.5, y=-1..1, color=green, style=patchnogrid):
display([circlePlane,up,down], scaling=constrained, orientation=[140,70], style=wireframe);

橢圓 

>ellipsePlane := plot3d(.75*x, x=-3..1.5, y=-1..1, color=green, style=patchnogrid):
display([ellipsePlane, up,down], scaling=constrained, orientation=[140,70], style=wireframe);

拋物線 

> parabolaPlane := plot3d(4*x, x=-.75..(.25), y=-1..1, color=green, style=patchnogrid):
display([parabolaPlane, up,down], scaling=constrained, orientation=[140,70], style=wireframe);

雙曲線 

> HyperbolaPlane := implicitplot3d(x=0, x=-.6..(.2), y=-1..1, z=-3..1,color=green, style=patchnogrid):
display([HyperbolaPlane, up,down], scaling=constrained, orientation=[140,70], style=wireframe);

圓錐剖面的分析圖

例子 1 .

a)

b)

c)

d)

e)

f) 

g) 

h) 

在每一種情況下, 敘述所獲得與特徵一致的圓錐。

圓的特徵= 圓心和半徑

橢圓的特徵 = 中心, 焦點 , 頂點 

拋物線的特徵= 頂點, 準線 , 焦點

雙曲線的特徵= 中心, 焦點 , 頂點， 漸近線

a ) 圖形是一個圓 

      中心在 ( 0,0 )

     半徑 = 3

> implicitplot( x^2 + y^2 = 9, x = -10..10, y = -10..10, scaling=constrained, grid=[40,40]);

B ) 圖表是轉動的雙曲線。

> implicitplot(x*y = -4, x = -10..10, y = -10..10, grid=[40,40]);

c ) 圖形是一橢圓   

     中心 (0,0) 

     焦點: (0, +- . )

     主軸頂點 : ( 0 , + - 4 ) 

     副軸頂點 vertices : ( + - 2 , 0 ) 。

> implicitplot(4* x^2 + y^2 = 16, x = -10..10, y = -10..10, grid=[50,50]);

d) 圖形是雙曲線

    中心(0,0) 

    頂點: (+- 6, 0) 

    焦點( +- . , 0)

    漸近線: y = +- .

> implicitplot(x^2 - 4* y^2 = 36, x= -10..10, y = -10..10, grid=[40,40]);

e ) 圖表是拋物線。

     頂點: (0,0) .

     焦點: (1,0) . 

     準線: x = -1 .

> implicitplot(y^2 = 4*x, x = -10..10, y = -10..10, grid=[40,40]);

f) 圖形是橢圓 。

    中心: (0,0) . 

    焦點: ( +- . , 0)

    主軸頂點 : ( + - 1,0 ) 

    副軸頂點 vertices : ( 0 + - 。 )

> implicitplot(x^2 + 3* y^2 - 1 = 0, x = -1..1, y = -1..1, grid=[40,40]);

g) 圖形是轉動的雙曲線

> implicitplot(x^2 + 3*x * y + y^2 = 16, x = -10..10, y = -10..10, grid=[40,40]);

h) 圖表是拋物線

    頂點: (0,1) .

    焦點: (0,0) .

    準線: y = 2 .

> implicitplot(x^2 + 4*y = 4, x = -3..3, y = -3..3, grid=[40,40]);

> completesquare(x^2 + y^2 - 2*x + 2*y + 2 = 0,x);

> completesquare(%,y);

解為一個點: ( 1 , - 1 ) 

>

圓錐等式標準形式

例子 2 .

寫一個經過 ( 0,0 ) , (-4,0) 和 ( 0,6 )的圓等式，決定圓的中心和半徑。

> solve({f=0, 16 - 4*d + f =0, 36 + 6*e + f = 0},{d,e,f});

> solve({f=0, 16 - 4*d + f =0, 36 + 6*e + f = 0},{d,e,f});

因此, 圓心是:(-2,3) 和半徑是 .

> completesquare(x^2 + y^2 + 4*x - 6*y = 0, x);

標準 形式:  .

中心: 

半徑:  

a) 我們使用:  

    p = |3 - (-5)| = 8 

    h = 3, k = -2 

   等式是:   

   頂點是(3,-2) .

   準線是: x= - 5 。

   焦點是: (11,-2) .

> A:= implicitplot(y^2 = 20 * x, x = -10..10, y = -10..10):

> C:= textplot([-7,7,'directrix'], color = blue):

> E:= textplot([5.5,-2,'focus'], color = blue):

> B:= plot([-5,t, t = -10..10], color = blue):

> DD:= pointplot([11,-2]):

> display({A,B,C,E,DD});

> completesquare(%,y);

例子 3 .

寫橢圓等式的標準形式和決定它的中心, 頂點 , 焦點 , 和共同頂點 。

> completesquare(%,x);

標準形式:   

 中心: (3,1) 

  和  用  而獲得: 

主軸頂點: (3 +- . ,1)

次要軸頂點:(3, 1 +- . )

焦點:( 3 +- . ,1).

> A:= implicitplot(4 * x^2 + 5*y^2 - 24*x - 10*y + 17 = 0, x =-1..6 ,y = -3..4):

> C:= pointplot([3 -1.095445115, 1]):

例子 4 .
寫雙曲線等式的標準形式和決定它的中心, 頂點 , 和 焦點 。

> completesquare(%,x);

標準形式: 

， 和  ， 求得 .

頂點: (3 +-2,5) .

焦點: (3 +- 4,5) .

中心: (3,5) .

漸近線: y = +- .

> f:= x -> 5 + 1.732050808 * (x-3) ;

> A:= implicitplot((x-3)^2/4-(y-5)^2/12 = 1, x = -10..12, y = -20..20):
B:= pointplot([7,5]):

> E:= plot(f(x), x = -10..10, color= blue):

> display({A,B,C,E,F});

例子 5 .
使用點 ( 0,0 ) , (-4,0), ( 0,6 ) 和一般等式